Ab August 2004 wurde in dieser Homepage die Häufigkeit von Primzahlabständen besprochen. Aus Betrachtungen mit mod 6 oder mod 30 kann man abschätzen, daß Abstände, die durch 3 teilbar sind,  mindestens doppelt so oft als jeder andere Abstand auftreten. Steigt man tiefer ein, läßt sich eine überraschend einfache Funktion ableiten, die für alle Primzahlabstände, alle Zahlenbereiche und auch höchste Intervalle Gültigkeit hat. Eine Obergrenze ist nicht erkennbar.  In einem Punkt ist jedoch ein Umdenken erforderlich:
Meist versuchte man bei Überlegungen zu einem Zwillingsbeweis analog zu klassischen Primzahlbeweisen vorzugehen. Der Schritt zu einem 'letzten' Primzahlzwilling einen 'nächsten' nachzuweisen, gelang in dieser Art nicht. Statt eines Zwillings soll hier jeweils ein Intervall mit ausreichend vielen Primzahlabständen betrachtet werden. Für die notwendige Größe eines solchen Intervalls wäre eine klare Aussage möglich. Jedoch soll darauf bewußt verzichtet werden. Denn tatsächlich genügt - falls notwendig - die fortgesetzte Vergrößerung eines eventuell zu kleinen Intervalls! So angelegte Intervalle weisen Primzahlen, Primzahlzwillinge und andere Primzahlabstände auf. Es läßt sich eine kleinste Grundmenge M0 von Primzahlabständen ansetzen und zwar für:

• Primzahlabstände a=2^k   mit k=>1
  (k=1 sind Primzahlzwillinge)

Die tatsächliche Größe von M0 muß an sich nicht bekannt sein!   M0 kann auch mit 1 angenommen werden.  
Jeder dieser 2-er Potenzabstände kommt in einem Intervall ausreichender Größe etwa gleich häufig vor. Es läßt sich eine 'relative Häufigkeit' der Abstände zu M0 angeben. Sie wird mit sehr guter Näherung durch die Funktion rh(n) beschrieben und wurde aus modulo-Untersuchungen entwickelt. Siehe den kurzen Anhang dieser Seite.

Für einen Primzahlabstand a_n mit seinen Primfaktoren f  und eventuell vorhandenen Potenzen h von f gilt :

WICHTIG:
Meine Aussagen beruhen NICHT auf statistischen Auswertungen. Vielmehr wurde der Zahlenstrahl mit modulo-Mustern 'parkettiert' und entsprechend ausgewertet... mod 6 und mod 30 liefern bereits die Ergebnisse. Zahlenmaterial wird nur zur Erläuterung angeboten.

..... Nur in diesem Sinne ist die grafische Darstellung zu oben zu verstehen:
Das erste Bild weist Primzahlabstände mit Primfaktoren (rechts weiß/gelb) aus. Die Balken jeder Zeile zeigen die Anzahl der gefundenen Abstände, Nullpunkt ist der linke Bildrand, mit den zugehörigen Zahlenwerten ganz links. Die weißen Pluszeichen + sind die nach obigem Verfahren geschätzte Anzahl der Abstände. 

Und so sieht die Sache für Abstände ab a=2 (1. Zeile Zwillinge!) aus:
In der Mitte des Bildes sind die Werte der Funktion rh(n) eingeblendet, mit M0=1.

Zusammenfassung:
Auch für jedes fernste Intervall  läßt sich - ohne jegliche Statistik - das Verhältnis beliebiger Primzahlabstände zueinander angegeben. Dabei ist es nicht erforderlich, die tatsächliche Anzahl eines Abstandes oder bestimmter Abstände zu kennen. Aus dem feststehenden und berechenbaren Verhältnis der Häufigkeiten folgt mit rh(n), daß jeder gerade Zahlenwert - einschließlich a=2 für Primzahlzwillinge - als Primzahlabstand bekannt häufig auftritt. Einzige Voraussetzung: Das Intervall muß richtig dimensioniert sein. Je größer das Intervall, desto besser wird die Übereinstimmung des Verhältnisses der Abstände zwischen  tatsächlichen mit möglichen Primzahlplätzen ausfallen. Die 'relative Häufigkeit der Primzahlabstände' schreibt sich systemimmanent und ohne Begrenzung nach oben fort. Will man dem nicht zustimmen, würde man die völlig zufällige Primzahlverteilung ab einem bestimmten Punkt aufheben. Letzteres stünde gegen alle bisherigen Erkenntnisse.

Datum dieses Textes: 2.4.2005 Willi Jeschke Copyright © 2005

Anhang     Entwicklung von rh(n) :
Das erste kleine Bild zeigt die Belegung des Zahlenstrahles mit mod_6_Mustern genau nach Streichung eines einzigen ersten Primzahlplatzes. Von den vorhandenen Primzahlabständen entfallen dann exakt je 1x a2 und a4, dagegen 2x a6, mit dem Ergebnis: Abstände von Zweier_Potenzen kommen als kleinste Menge M0 (oder 1) vor. Andere Abstände, hier a=6, umso häufiger, je mehr kleine ungerade Primzahlfaktoren a besitzt.
Als Funktion rh(6) geschrieben:   pi_a6 = 1*2/1 = 2.
Die endgültige Funktion rh(n) wurde durch eine gleiche Auswertung höherer Modulwerte entwickelt, bezw. festgestellt.