Primzahlen: Untersuchung mit Kiebart-Kamm


Das Programm KK.exe ('Die Magie der Primzahlen' - Version 3.0.5-Professional) bietet auch eine 'Analyse mittels Kiebartkamm' an. Es lassen sich damit eine Reihe von Fragen recht einleuchtend beantworten, ohne daß schwierige Formeln bemüht werden müssen. Antworten gibt es etwa auf folgende Fragen:
Kamm-DarstellungDie linke 'Primzahl-Skala' zeigt alle möglichen Primzahlplätze - als schwarze Felder - und Primzahlzwillinge beginnend bei 6±1, also bei 5 und 7... in jeder Zeile ansteigend um den konstanten Wert 6. Alle geraden Zahlen und durch 3 teilbare Zahlen sind schon eliminiert.
Die zwei Zahlen einer Zeile haben mod 3 den    Rest 2 (links)   und   Rest 1 (rechts)
Man beschreibt jede einzelne Zeile mit   6*k±1.     / 3. Zeile: 3*6±1 ... 17, 19 /
In jeder senkrechten Spalte findet man alle fortlaufend denkbaren Abstände   a=6.
Beim 'Streichen von Primzahlen' werden prinzipiell - egal nach welcher Methode - die Vielfachen einer bereits erkannten Primzahl auf's Korn genommen. Hier beginnt die Sache mit der
Primzahl 5....  erste zu streichende Zahlen:   25 und 35  (Warum rechts/links, dazu später)

25 und 35 haben beide jeweils ein noch schwarzes, unberührtes Umfeld. Es gilt:
••• Das Streichen von 25,35 vernichtet 2 mögliche Zwillinge (a=2):  23-25, 35,37
••• Gleichzeitig gehen 4 Primzahlabstände (a=6) verloren: 19-25, 25-31 und 29-35, 35,41
Anmerkung: Der Abstand 6 kommt stets doppelt so häufig vor, wie a=2 (Zwillinge).

49 und 55 sind die nächsten 2 Streich-Kandidaten, mit völlig anderer Wirkung...
••• gestrichene Zwillinge:  wieder 2 Stück... jedoch statt 4 nur  2 Abstände (a=6) •••
Das ist jenes Primzahlchaos, das meist angesprochen wird. Bis zur Zahl 60 (zwei 30er Blöcke) haben wir in der linken Spalte 1 Primzahl verloren, rechts dagegen schon  3 •••
An einer anderen Stelle wird man es eventuell umgekehrt vorfinden, ohne daß man eine bestimmte Regelmäßigkeit ausweisen kann. Die Suche nach Regeln dauert schon Jahrtausende.
Wichtige Frage:
Wieso stehen alle Quadrate rechts und wann steht ein bestimmtes Produkt rechts?
Dazu sollten wir jede Zahl als das Produkt von nur zwei Faktoren erkennen !
175 = 5*5*7 = 25*7 = 5*35, auch die Primzahl 13 = 13*1  und das Quadrat  25 = 5*5

••• Jede dieser Zahlen steht in der rechten Spalte! Denn jede hat eine Zwei-Faktoren-Differenz, die ein Vielfaches von 6 ist... also 6*k mit k=0 bis Ende.  
... und  k=0   das sind unsere Quadrate.  
••• Alle anderen Zahlen, die andere Zwei-Faktoren-Differenzen haben, stehen links !

In der linken Skala sind sechs 30er Blöcke (bis Zahl 185=5+6*30) aufgeführt, in 31 Zeilen.
Das sind 2*31 = 62 mögliche Primzahlplätze... echt gezählt: 40 Primzahlen
21 Primzahlen links     ... mod 3 Rest 2    10 Produkte links
19 Primzahlen rechts ... mod 3 Rest 1    12 Produkte rechts,    davon 4 Quadrate
12 Primzahlzwillinge  und  24  Abstände (=13+11) a=6  ...entspricht der Theorie!


Untersuchen Sie bitte einen anderen Bereich, Sie werden immer eine andere Mischung der Karten vorfinden.

An dieser Stelle möchte ich gerne nochmal eine - wie ich meine - wichtige Frage einbinden. In niederen Zahlenbereichen - wie oben - läßt es sich noch gut 'von Hand' zählen. Auch per Programm kann man heute bequem die erste Million ab null bearbeiten. Für statistische Betrachtungen ist dies aber weniger geeignet. Der Grund hierfür ist die starke Krümmung der logarithmischen Kurve im Null-Bereich - und die Primzahlverteilung folgt nun mal dem Logarithmus. Erst in höheren bis hohen Intervallen kann man einen quasi linearen Verlauf nutzen. Die Primzahldichte nimmt dort - relativ gesehen - nur noch in geringerem Maße ab. Dashalb ganz allgemein...

Ein zu untersuchendes Intervall sollte genügend groß, aber klein gegenüber der Schranke sein.

Link bezw. Download (kostenlos):
Primzahlen oder die Magie der Zahlen       http://euroware.de     von  Reinhold Kiebart