Primzahlabstände, Funktion Relative Häufigkeit

Funktion 'Relative Häufigkeit' rh(n)

Wie kommt man zu dieser Funktion? Es erscheint notwendig, hier etwas nachzuhelfen, zumal man eine übliche 'Ableitung' nicht direkt anschreiben kann. Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Am zweckmäßigsten erscheint mir die 'Parkettierung' des Zahlenstrahles mit einem Muster nach mod 30. Das ist einerseits noch übersichtlich und von Hand abzählbar, andererseits sind bereits die ersten beiden ungeraden Primzahlen 3 und 5 darin enthalten. Die nächste Zeile zeigt einen beliebigen Ausschnitt des Zahlenstrahles, nicht bei 0 beginnend, belegt mit mod 30:

|o.....o...o.o...o.o...o.....o|o.....o...o.o...o.o...o.....o|o.....o...o.o...o.o...o.....o| Reste mod 30 = 1 7 11 13 17 19 23 29 Das Zeichen o steht für 'möglicher Primzahlplatz' unddas Zeichen . steht für 'zusammengesetzte Zahl'.

Nun kann man die Primzahlabstände, besser ihre Anzahl, direkt ablesen. Es werden alle Abstände gezählt, die in einem Block mod 30 beginnen und im gleichen oder nächsten Block enden. Das Zählen über mehrere Blöcke kann man sich sparen, denn für jeden 'großen' Abstand gilt: a mod 30. Richtig gezählt lautet das Ergebnis:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Abstand a_n = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Anzahl pi_an = 3 3 6 3 4 6 3 3 6 4 3 6 3 3 8 Verhältnis 1 1 2 1 4 2 1 1 2 4 1 2 1 1 8 a_n/a_2 .... 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

Die Brüche der letzten Doppelzeile zeigen bereits die Werte der Funktion 'relative Häufigkeit' rh(n). Zu beachten ist lediglich, daß Abstände mit Primfaktoren >5 noch nicht den korrekten Funktionswert ergeben. Dazu müßte mod 210 oder mod 2310 und besser ein Rechner eingesetzt werden. Der allgemein gültige Algorithmus ist jedoch mit mod 30 bereits gut erkennbar.

Endgültige 1 1 2 1 4 2 6 1 2 4 10 2 12 6 8 Werte rh(n) 1 1 1 3 1 5 1 1 3 9 1 11 5 3
Die Funktion rh(n) soll hier nicht wiederholt werden. Siehe Primzahlabstände allgemein oder Kurzfassung